Gaussiaans en parabool om LED-lichtstromen van een experimentele lamp te bestuderen - Ajarnpa

2024 Auteur: John Day | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-30 11:14

Hallo aan alle makers en aan de bruisende gemeenschap van Instructable.

Deze keer brengt Merenel Research een puur onderzoeksprobleem en een manier om het met wiskunde op te lossen.

Ik had dit probleem zelf terwijl ik de LED-fluxen aan het berekenen was van een RGB LED-lamp die ik heb gebouwd (en die ik zal leren bouwen). Na uitgebreid online te hebben gezocht vond ik geen antwoord, dus hier post ik de oplossing.

HET PROBLEEM

Heel vaak hebben we in de natuurkunde te maken met krommen die de vorm hebben van de Gauss-verdeling. Ja! Het is de klokvormige kromme die wordt gebruikt om waarschijnlijkheid te berekenen en die ons is gebracht door de grote wiskundige Gauss.

Gauss-curve wordt veel gebruikt in fysieke toepassingen in het echte leven, vooral wanneer we te maken hebben met straling die wordt voortgeplant door een bron of wordt ontvangen van een ontvanger, bijvoorbeeld:

- het uitzenden van het vermogen van een radiosignaal (bijv. Wi-Fi);

- de lichtstroom die door een led wordt uitgestraald;

- het uitlezen van een fotodiode.

In het gegevensblad van de fabrikant krijgen we vaak de werkelijke waarde van het gebied van de Gauss, wat het totale stralingsvermogen of de lichtstroom in een bepaald deel van het spectrum (bijvoorbeeld van een LED) zou zijn, maar het wordt moeilijk om de werkelijke straling te berekenen uitgestraald op het hoogtepunt van de curve of nog moeilijker om de overlappende straling van twee nabije bronnen te kennen, bijvoorbeeld als we verlichten met meer dan een LED (bijv. Blauw en Groen).

In dit Instructable-artikel zal ik je uitleggen hoe je de Gaussiaans kunt benaderen met een curve die veel gemakkelijker te begrijpen is: een parabool. Ik zal antwoord geven op de vraag: hoeveel Gauss-krommen zitten er in een parabool?

SPOILER → HET ANTWOORD IS:

Het Gauss-gebied is altijd 1 eenheid.

Het gebied van de overeenkomstige parabool met dezelfde basis en hoogte is 2,13 keer groter dan het relatieve Gauss-gebied (zie de afbeelding voor de grafische demonstratie).

Dus een Gaussiaans is 46,94% van zijn parabool en deze relatie is altijd waar.

Deze twee getallen zijn op deze manier gerelateerd 0.46948=1/2.13, dit is de strikte wiskundige relatie tussen een Gauss-curve en zijn parabool en vice versa.

In deze gids laat ik je stap voor stap dit ontdekken.

Het enige instrument dat we nodig hebben is Geogebra.org, een geweldige online wiskundige tool voor het tekenen van grafieken.

De Geogebra-kaart die ik heb gemaakt om een parabool te vergelijken met een Gaussiaans is te vinden op deze link.

Deze instructable is lang omdat het over een demonstratie gaat, maar als je snel hetzelfde probleem moet oplossen dat ik had met LED-lichtstromen, of een ander fenomeen met overlappende Gaussiaanse curven, spring dan gewoon naar de spreadsheet die je bij de stap vindt bijgevoegd 5 van deze gids, die uw leven gemakkelijker zal maken en automatisch alle berekeningen voor u zal maken.

Ik hoop dat je van toegepaste wiskunde houdt, want dit instructable gaat erover.

Stap 1: Het licht begrijpen dat wordt uitgestraald door een monochromatische LED

In deze analyse zal ik een reeks gekleurde LED's beschouwen, zoals je duidelijk kunt zien aan hun spectrumkaart (eerste afbeelding), hun spectrale vermogensverdeling ziet er echt uit als een Gaussische die convergeert in de x-as op -33 en +33 nm van het gemiddelde (fabrikanten geeft meestal deze specificatie). Houd er echter rekening mee dat de weergave van deze grafiek alle spectra op een enkele voedingseenheid normaliseert, maar LED's hebben een ander vermogen afhankelijk van hoe efficiënt ze zijn vervaardigd en hoeveel elektrische stroom (mA) u erin voedt.

Zoals je kunt zien, overlapt de lichtstroom van twee LED's soms het spectrum. Laten we zeggen dat ik gemakkelijk het overlappende gebied van die curven wil berekenen, omdat in dat gebied de dubbele hoeveelheid vermogen zal zijn en ik wil weten hoeveel vermogen in lumen (lm) we daar hebben, nou dat is niet een gemakkelijke taak die we in deze gids zullen proberen te beantwoorden. Het probleem ontstond omdat ik tijdens het bouwen van de experimentele lamp echt wilde weten in hoeverre het blauwe en groene spectrum elkaar overlappen.

We zullen ons alleen concentreren op monochromatische LED's, die op een smal deel van het spectrum uitstralen. In de grafiek: KONINGSBLAUW, BLAUW, GROEN, ORANJE-ROOD, ROOD. (De eigenlijke lamp die ik bouw is RGB)

FYSICA ACHTERGROND

Laten we een beetje terugspoelen en eerst een beetje natuurkundige uitleg geven.

Elke LED heeft een kleur, of meer wetenschappelijk zouden we zeggen, die heeft een golflengte (λ) die deze bepaalt en die wordt gemeten in nanometers (nm) en λ=1/f, waarbij f de oscillatiefrequentie van het foton is.

Dus wat we ROOD noemen, is in feite een (grote) verzameling fotonen die oscilleren op 630 nm, die fotonen raken de materie en stuiteren in onze ogen, die fungeren als receptoren, en dan verwerken je hersenen de kleur van het object als ROOD; of de fotonen kunnen rechtstreeks in je ogen gaan en je zou de LED die ze uitzendt in RODE kleur zien gloeien.

Er werd ontdekt dat wat wij licht noemen eigenlijk slechts een klein deel is van het elektromagnetische spectrum, tussen 380nm en 740nm; dus licht is een elektromagnetische golf. Het merkwaardige aan dat deel van het spectrum is dat juist het deel van het spectrum gemakkelijker door water gaat. Raad eens? Onze oude voorouders van de oersoep waren eigenlijk in water, en het is in water waar de eerste, meer complexe, levende wezens ogen begonnen te ontwikkelen. Ik raad je aan om de video van Kurzgesagt te bekijken die ik heb bijgevoegd om beter te begrijpen wat licht is.

Kortom, een LED straalt licht uit, wat een bepaalde hoeveelheid radiometrisch vermogen (mW) is bij een bepaalde golflengte (nm).

Als we te maken hebben met zichtbaar licht, hebben we het meestal niet over radiometrisch vermogen (mW) maar over lichtstroom (lm), een maateenheid die wordt gewogen op basis van de reactie op zichtbaar licht van de ogen van mensen, afgeleid van de candela-maateenheid, en wordt gemeten in lumen (lm). In deze presentatie zullen we kijken naar de lumen die worden uitgestraald door LED's, maar alles zal precies in dezelfde mate van toepassing zijn op mW.

In elk LED-gegevensblad zal de fabrikant u deze stukjes informatie geven:

Uit deze bijgevoegde datasheet zie je bijvoorbeeld dat als je beide leds van stroom voorziet met 100mA, je dat hebt:

BLAUW is op 480 nm en heeft een lichtstroom van 11 lm;

GROEN is op 530 nm en heeft een lichtstroom van 35 lm.

Dit betekent dat de Gauss-curve van blauw groter zal zijn, meer zal stijgen, zonder de breedte te wijzigen en zal oscilleren rond het gedeelte dat wordt begrensd door de blauwe lijn. In dit artikel zal ik uitleggen hoe je de hoogte kunt berekenen van de Gauss die het volledige piekvermogen uitdrukt dat door de LED wordt uitgezonden, niet alleen het vermogen dat in dat deel van het spectrum wordt uitgezonden, helaas zal die waarde lager zijn. Verder zal ik proberen het overlappende deel van de twee LED's te benaderen om te begrijpen hoeveel lichtstroom overlapt wanneer we te maken hebben met LED's die "buren" in het spectrum zijn.

Het meten van de flux van LED's is een zeer complexe zaak, als je graag meer wilt weten, heb ik een gedetailleerd document van Osram geüpload waarin wordt uitgelegd hoe dingen worden gedaan.

Stap 2: Inleiding tot de parabool

Ik zal niet veel in detail treden over wat een parabool is, aangezien deze op school uitgebreid wordt bestudeerd.

Een vergelijking van een parabool kan in de volgende vorm worden geschreven:

y=ax^2+bx+c

ARCHIMEDES HELPT ONS

Wat ik wil onderstrepen is een belangrijke geometrische stelling van Archimedes. Wat de stelling zegt, is dat de oppervlakte van een in een rechthoek begrensde parabool gelijk is aan 2/3 van de oppervlakte van de rechthoek. In de eerste afbeelding met de parabool kun je zien dat het blauwe gebied 2/3 is en de roze gebieden 1/3 van het gebied van de rechthoek.

We kunnen de parabool en zijn vergelijking berekenen als we drie punten van de parabool kennen. In ons geval berekenen we het hoekpunt en kennen we de snijpunten met de x-as. Bijvoorbeeld:

BLAUWE LED Vertex (480, ?) de Y van de vertex is gelijk aan het lichtvermogen dat wordt uitgezonden bij de piekgolflengte. Om het te berekenen, zullen we de relatie gebruiken die bestaat tussen het gebied van een Gaussiaanse (werkelijke flux uitgezonden door de LED) en die van een parabool en we zullen de stelling van Archimedes gebruiken om de hoogte te weten van de rechthoek die die parabool bevat.

x1(447, 0)

x2(513, 0)

PARABOLISCHE MODEL

Als je naar de afbeelding kijkt die ik heb geüpload, kun je een complex model zien om met parabolen verschillende LED-lichtstromen weer te geven, maar we weten dat hun weergave niet precies zo is, omdat het meer op een Gaussiaans lijkt.

Met parabolen kunnen we echter met behulp van wiskundige formules alle snijpunten van verschillende parabolen vinden en de kruisende gebieden berekenen.

In stap 5 heb ik een spreadsheet bijgevoegd waarin ik alle formules heb geplaatst om alle parabolen en hun kruisende gebieden van de monochromatische LED's te berekenen.

Gewoonlijk is de basis van de Gaussiaans van een LED groot 66 nm, dus als we de dominante golflengte kennen en we de LED-straling benaderen met een parabool, weten we dat de relatieve parabool de x-as zal snijden in λ+33 en λ-33.

Dit is een model dat een LED totaal uitgestraald licht met parabool benadert. Maar we weten dat als we precies willen zijn, het niet precies goed is, we een Gauss-curve moeten gebruiken, wat ons bij de volgende stap brengt.

Stap 3: Inleiding tot de Gauss-curve

Een Gaussiaans is een kromme die complexer zal klinken dan een parabool. Het is uitgevonden door Gauss om fouten te interpreteren. In feite is deze curve erg handig om de probabilistische verdeling van een fenomeen te zien. Voor zover we van het gemiddelde naar links of rechts gaan, hebben we een bepaald fenomeen dat minder vaak voorkomt en zoals je op de laatste afbeelding kunt zien, is deze curve een zeer goede benadering van gebeurtenissen in het echte leven.

De Gauss-formule is de enge formule die je als tweede plaatje ziet.

De Gauss-eigenschappen zijn:

- het is symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde;

- x = μ valt niet alleen samen met het rekenkundig gemiddelde, maar ook met de mediaan en modus;

- het is asymptotisch op de x-as aan elke kant;

- het neemt af voor xμ;

- het heeft twee buigpunten in x = μ-σ;

- het gebied onder de curve is 1 eenheid (zijnde de kans dat een x zou verifiëren)

σ is de standaarddeviatie, hoe groter het getal, hoe breder de Gauss-basis is (eerste afbeelding). Als een waarde in het 3σ-gedeelte ligt, zouden we weten dat deze echt van het gemiddelde afwijkt en dat de kans kleiner is dat dit gebeurt.

In ons geval, met LED's, kennen we het gebied van de Gauss, wat de lichtstroom is die wordt gegeven in het gegevensblad van de fabrikant bij een bepaalde golflengtepiek (wat het gemiddelde is).

Stap 4: Demonstratie met Geogebra

In deze sectie zal ik je uitleggen hoe je Geogebra kunt gebruiken om aan te tonen dat een parabool 2,19 keer zijn Gaussiaans is.

Eerst moet je een aantal variabelen maken door op de schuifregelaar te klikken:

De standaarddeviatie σ=0.1 (de standaarddeviatie bepaalt hoe breed de Gauss-curve is, ik heb een kleine waarde ingevoerd omdat ik het smal wilde maken om een spectrale LED-stroomverdeling te simuleren)

Het gemiddelde is 0, dus de Gauss is gebouwd op de y-as, waar het gemakkelijker is om te werken.

Klik op de kleine golffunctie om het functiegedeelte te activeren; daar kun je door op fx te klikken de Gauss-formule invoegen en je ziet een mooie lange Gauss-curve op het scherm verschijnen.

Grafisch zie je waar de kromme convergeert op de x-as, in mijn geval in X1(-0,4;0) en X2(+0,4;0) en waar het hoekpunt is in V(0;4).

Met dit driepunt heb je genoeg info om de vergelijking van de parabool te vinden. Als u niet met de hand wilt rekenen, kunt u deze website of de spreadsheet in de volgende stap gebruiken.

Gebruik het functiecommando (fx) om de zojuist gevonden paraboolfunctie in te vullen:

y=-25x^2 +4

Nu moeten we begrijpen hoeveel Gaussianen er in een parabool zitten.

Je moet het functiecommando gebruiken en het commando Integral invoegen (of Integrale in mijn geval, aangezien ik de Italiaanse versie gebruikte). De definitieve integraal is de wiskundige bewerking waarmee we het gebied van een functie kunnen berekenen die is gedefinieerd tussen tot x-waarden. Als je niet meer weet wat een bepaalde integraal is, lees dan hier.

a=Integraal(f, -0,4, +0,4)

Deze Geogebra-formule lost de gedefinieerde integraal op tussen -0,4 en +0,4 van de functie f, de Gauss. Aangezien we te maken hebben met een Gaussiaans, is de oppervlakte 1.

Doe hetzelfde voor de parabool en je zult het magische getal 2.13 ontdekken. Dat is het sleutelnummer om alle lichtstroomconversies met LED's uit te voeren.

Stap 5: Voorbeeld uit de praktijk met LED's: de fluxpiek en de overlappende fluxen berekenen

LICHTSTROOM OP DE PIEK

Het berekenen van de werkelijke hoogte van de geroerde Gauss-curven van de LED-fluxverdeling, nu we de conversiefactor 2.19 hebben ontdekt, is heel eenvoudig.

bijvoorbeeld:

BLAUWE LED heeft een lichtstroom van 11 lm

- we zetten deze flux om van Gaussiaans naar parabolisch 11 x 2.19 = 24.09

- we gebruiken de stelling van Archimedes om het relatieve rechthoekgebied te berekenen dat de parabool 24,09 x 3/2 = 36,14 bevat

- we vinden de hoogte van die rechthoek die deelt voor de basis van de Gaussiaans voor de BLAUWE LED, gegeven in de datasheet of te zien op de datasheet-grafiek, meestal rond 66nm, en dat is onze kracht op het hoogtepunt van 480nm: 36.14 / 66= 0,55

OVERLAPPENDE LICHTSTROOMGEBIEDEN

Om twee overlappende straling te berekenen zal ik het uitleggen met een voorbeeld met de volgende twee LED's:

BLAUW is op 480 nm en heeft een lichtstroom van 11 lm GROEN is op 530 nm en heeft een lichtstroom van 35 lm

We weten en we zien op de kaart dat beide Gauss-curven convergeren in -33nm en +33nm, bijgevolg weten we dat:

- BLAUW snijdt de x-as in 447nm en 531nm

- GROEN snijdt de x-as in 497nm en 563nm

We zien duidelijk dat de twee curven elkaar kruisen aangezien het ene uiteinde van de eerste zich na het begin van de andere bevindt (531nm>497nm), zodat het licht van deze twee LED's elkaar op sommige punten overlappen.

We moeten eerst de paraboolvergelijking voor beide berekenen. De bijgevoegde spreadsheet is er om u te helpen met berekeningen en heeft de formules ingesloten om het systeem van vergelijkingen op te lossen om de twee parabolen te bepalen die de x-as kruisende punten en het hoekpunt kennen:

BLAUWE parabool: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

GROENE parabool: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

in beide gevallen a>0 en, dus de parabool wijst correct ondersteboven.

Om te bewijzen dat deze parabolen kloppen, vult u gewoon a, b, c in in de hoekpuntcalculator op deze paraboolcalculator-website.

Op de spreadsheet zijn alle berekeningen al gemaakt om de snijpunten tussen de parabolen te vinden en om de definitieve integraal te berekenen om de snijdende gebieden van die parabolen te verkrijgen.

In ons geval zijn de kruisende gebieden van blauwe en groene LED-spectra 0,4247.

Zodra we de kruisende parabolen hebben, kunnen we dit nieuw opgerichte kruisende gebied vermenigvuldigen voor de Gauss-multiplier 0,4694 en een zeer goede benadering vinden van hoeveel stroom de LED's in totaal in dat deel van het spectrum samen uitstralen. Om de enkele LED-flux te vinden die in dat gedeelte wordt uitgestraald, deelt u gewoon door 2.

Stap 6: De studie van de monochromatische LED's van de experimentele lamp is nu voltooid

Nou, heel erg bedankt voor het lezen van dit onderzoek. Ik hoop dat het nuttig voor u zal zijn om diep te begrijpen hoe licht wordt uitgestraald door een lamp.

Ik bestudeerde de fluxen van de LED's van een speciale lamp gemaakt met drie soorten monochromatische LED's.

De "ingrediënten" om deze lamp te maken zijn:

- 3 LED BLAUW

- 4 LED's GROEN

- 3 LED's ROOD

- 3 weerstanden om de stroom in de led-circuitvertakkingen te beperken

- 12V 35W voeding

- Reliëf acryl hoes

- OSRAM OT BLE DIM-regeling (Bluetooth LED-regeleenheid)

- Aluminium koellichaam

- M5 bouten en moeren en L-beugels

Bedien alles met de Casambi APP vanaf je smartphone, je kunt elk LED kanaal apart aanzetten en dimmen.

Het bouwen van de lamp is heel eenvoudig:

- bevestig de LED aan het koellichaam met dubbelzijdig plakband;

- soldeer alle BLU LED's in serie met een weerstand, en doe hetzelfde met de andere kleur voor elke tak van het circuit. Afhankelijk van de LED's die u zult kiezen (ik gebruikte Lumileds LED), moet u de weerstandsgrootte kiezen in verhouding tot hoeveel stroom u in de LED zult voeden en tot de totale spanning die wordt gegeven door de voeding van 12V. Als je niet weet hoe je dit moet doen, raad ik je aan om deze geweldige instructie te lezen over hoe je de grootte van een weerstand kunt bepalen om de stroom van een reeks LED's te beperken.

- sluit de draden aan op elk kanaal van de Osram OT BLE: de alle hoofdposities van de takken van de LED's gaan naar de gemeenschappelijke (+) en de drie negatieven van de takken gaan respectievelijk naar -B (blauw) -G (groen) -R (rood).

- Sluit de voeding aan op de ingang van de Osram OT BLE.

Wat nu zo cool is aan de Osram OT BLE, is dat je scenario's kunt maken en de LED-kanalen kunt programmeren, zoals je kunt zien in het eerste deel van de video, ik dim de drie kanalen en in het tweede deel van de video gebruik ik een aantal vooraf gemaakte lichtscenario's.

CONCLUSIES

Ik heb uitgebreid wiskunde gebruikt om diep te begrijpen hoe de fluxen van deze lampen zich zouden verspreiden.

Ik hoop echt dat je vandaag iets nuttigs hebt geleerd en ik zal mijn best doen om meer voorbeelden van diepgaand toegepast onderzoek zoals dit naar leerzame gevallen te brengen.

Onderzoek is de sleutel!

Zo lang!

Pietro