De brachistochrone curve - Ajarnpa

2024 Auteur: John Day | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-30 11:16

De brachistochrone curve is een klassiek natuurkundig probleem, dat het snelste pad afleidt tussen twee punten A en B die zich op verschillende hoogtes bevinden. Hoewel dit probleem misschien eenvoudig lijkt, biedt het een contra-intuïtief resultaat en is het daarom fascinerend om naar te kijken. In deze instructables leer je over het theoretische probleem, ontwikkel je de oplossing en bouw je uiteindelijk een model dat de eigenschappen van dit verbazingwekkende natuurkundige principe demonstreert.

Dit project is bedoeld voor middelbare scholieren, omdat ze verwante concepten behandelen in theorielessen. Dit hands-on project versterkt niet alleen hun greep op het onderwerp, maar biedt ook een synthese van verschillende andere gebieden om te ontwikkelen. Tijdens het bouwen van het model gaan studenten bijvoorbeeld leren over optica via de wet van Snell, computerprogrammering, 3D-modellering, digitale frabrication en elementaire houtbewerkingsvaardigheden. Hierdoor kan een hele klas een bijdrage leveren door het werk onderling te verdelen, waardoor het een teaminspanning wordt. De tijd die nodig is om dit project te maken is ongeveer een week en kan dan worden gedemonstreerd aan de klas of aan jongere studenten.

Er is geen betere manier om te leren dan via STEM, dus ga verder om je eigen werkende brachistochrone model te maken. Als je het project leuk vindt, stem er dan op in de klassikale wedstrijd.

Stap 1: Theoretisch probleem

Het brachistochrone probleem is er een dat draait om het vinden van een kromme die twee punten A en B verbindt die zich op verschillende hoogtes bevinden, zodanig dat B niet direct onder A ligt, zodat het laten vallen van een knikker onder invloed van een uniform zwaartekrachtveld langs dit pad zal zo snel mogelijk B bereiken. Het probleem werd in 1696 gesteld door Johann Bernoulli.

Toen Johann Bernoulli het probleem van de brachistochrone in juni 1696 aan de lezers van Acta Eruditorum vroeg, een van de eerste wetenschappelijke tijdschriften van de Duitstalige landen van Europa, kreeg hij antwoorden van 5 wiskundigen: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en Guillaume de l'Hôpital hebben elk een unieke benadering!

Alert: de volgende stappen bevatten het antwoord en onthullen de schoonheid achter dit snelste pad. Neem even de tijd om over dit probleem na te denken, misschien kun je het oplossen, net als een van deze vijf genieën.

Stap 2: De wet van Snell gebruiken om aan te tonen

Een van de manieren om het brachistochrone probleem op te lossen is om het probleem aan te pakken door analogieën te trekken met de wet van Snellius. De wet van Snell wordt gebruikt om het pad te beschrijven dat een lichtstraal zou volgen om van het ene punt naar het andere te gaan terwijl het door twee verschillende media gaat, met behulp van het principe van Fermat, dat zegt dat een lichtstraal altijd de snelste route zal nemen. Een formele afleiding van deze vergelijking kan worden gevonden door de volgende link te bezoeken.

Omdat een vrijvallend object onder invloed van het zwaartekrachtsveld kan worden vergeleken met een lichtstraal die door veranderende media gaat, wijkt de lichtstraal elke keer dat de lichtstraal een nieuw medium tegenkomt iets af. De hoek van deze afwijking kan worden berekend met behulp van de wet van Snellius. Terwijl men doorgaat met het toevoegen van lagen met afnemende dichtheden voor de afwijkende lichtstraal, totdat de straal de kritische hoek bereikt, waar de straal eenvoudig wordt gereflecteerd, beschrijft het traject van de straal de brachistochrone curve. (de rode curve in het diagram hierboven)

De brachistochrone curve is in feite een cycloïde, de curve die wordt gevolgd door een punt op de rand van een cirkelvormig wiel terwijl het wiel langs een rechte lijn rolt zonder te slippen. Dus als we de curve moeten tekenen, kan men eenvoudig de bovenstaande methode gebruiken om deze te genereren. Een andere unieke eigenschap van de curve is dat een bal die vanaf een willekeurig punt van de curve wordt losgelaten, precies dezelfde tijd nodig heeft om de bodem te bereiken. De volgende stappen beschrijven het proces van het maken van een klasexperiment door een model te construeren.

Stap 3: Praktisch experimentmodel

Het model bestaat uit lasercut paden die fungeren als sporen voor de knikkers. Om aan te tonen dat de brachistochrone curve het snelste pad van punt A naar B is, hebben we besloten om het te vergelijken met twee andere paden. Omdat nogal wat mensen intuïtief zouden voelen dat het kortste deel het snelst is, hebben we besloten om een rechte helling te maken die beide punten verbindt als het tweede pad. De derde is een steile bocht, omdat je zou voelen dat de plotselinge val genoeg snelheid zou genereren om de rest te verslaan.

Het tweede experiment waarbij de ballen van verschillende hoogtes op drie brachistochrone paden worden losgelaten, resulteert in een gelijktijdige reikende bal. Ons model beschikt dus over 3D-geprinte handleidingen die gemakkelijke uitwisselbaarheid tussen de acrylpanelen bieden, waardoor beide experimenten kunnen worden uitgevoerd.

Ten slotte zorgt het ontgrendelingsmechanisme ervoor dat de ballen samen vallen en de timingmodule aan de onderkant registreert de timing wanneer de ballen de bodem bereiken. Om dit te bereiken hebben we drie eindschakelaars ingebouwd die worden geactiveerd wanneer de ballen deze activeren.

Opmerking: je kunt dit ontwerp eenvoudig kopiëren en maken van karton of andere materialen die gemakkelijk verkrijgbaar zijn

Stap 4: Benodigde materialen

Hier zijn de onderdelen en benodigdheden om een werkend model van het brachistochrone-experiment te maken

HARDWARE:

1" grenen houten plank - afmetingen; 100cm bij 10cm

Neodymium Magnetx 4 - afmetingen; 1 cm diameter en 0,5 cm hoog

3D-printfilament - PLA of ABS zijn prima

M3 inzetstuk met schroefdraad x 8 - (optioneel)

M3-bout x 8 - 2,5 cm lang

Houtschroef x 3 - 6 cm lang

Houtschroefx 12 - 2,5 cm lang

ELEKTRONICA:

Arduino Uno

Limietschakelaarx 4- deze schakelaars zullen fungeren als het timingsysteem

Druk op de knop

LCD scherm

Jumpwire x veel

De totale kosten van het model bedroegen ongeveer 30 $

Stap 5: 3D printen

Verschillende onderdelen zoals het ontgrendelingsmechanisme en de bedieningskast zijn gemaakt met behulp van een 3D-printer. De volgende lijst bevat het totale aantal onderdelen en hun afdrukspecificaties. Alle STL-bestanden worden geleverd in een map die hierboven is bijgevoegd, zodat men indien nodig de nodige wijzigingen kan aanbrengen.

Besturingskast x 1, 20% vulling

Gids x 6, 30% vulling

Eindstop x 1, 20% vulling

Draaiarm x 1, 20% vulling

Draaimontage x 1, 30% vulling

Loslaatstuk x 1, 20% vulling

De onderdelen zijn geprint in PLA omdat er geen bijzondere spanning op de onderdelen inwerkt. In totaal kostte het ongeveer 40 uur printen.

Stap 6: lasersnijden van de paden

De verschillende paden die we op fusion 360 hebben ontworpen, zijn geëxporteerd als.dxf-bestanden en vervolgens met een laser uitgesneden. We kozen voor dekkend wit acryl met een dikte van 3 mm om de rondingen te maken. Je kunt het zelfs van hout maken met handgereedschap, maar het is belangrijk om ervoor te zorgen dat het gekozen materiaal stijf is, omdat flexibiliteit van invloed kan zijn op hoe de ballen naar beneden rollen.

6 x brachistochrone curve

2 x Steile Curve

2 x rechte curve

Stap 7: Het hout zagen

Het frame van het model is gemaakt van hout. We kozen voor 1 "bij 4" grenen omdat we nog wat over hadden van een vorig project, hoewel men een hout naar keuze kan gebruiken. Met behulp van een cirkelzaag en een geleider zagen we twee stukken hout van lengte:

48 cm, wat de lengte van het pad is

31 cm dat is de hoogte

We hebben de ruwe randen schoongemaakt door deze licht te schuren op de schijfschuurmachine.

Stap 8: De gaten boren

Voordat u de twee stukken aan elkaar schroeft, markeert u de dikte van het hout op het ene uiteinde van het onderste stuk en centreert u drie op gelijke afstanden liggende gaten. We gebruikten een bit van 5 mm om een geleidegat te maken op beide stukken hout en verzonken het gat in het onderste stuk om de schroefkop gelijk in te kunnen draaien.

Opmerking: zorg ervoor dat u het verticale stuk hout niet splijt, omdat er dan in de kopse nerf wordt geboord. Gebruik ook lange houtschroeven omdat het belangrijk is dat het frame niet trilt en de bovenkant door de hefboomwerking.

Stap 9: Het inbedden van de koellichamen en de magneten

Omdat de draden in 3D-geprinte onderdelen de neiging hebben om na verloop van tijd te verslijten, hebben we besloten om koellichamen in te bouwen. De gaten zijn iets ondermaats zodat het koellichaam beter grip op het plastic heeft. We plaatsten M3-koellichamen over de gaten en duwden ze naar binnen met de punt van een soldeerbout. Door de hitte smelt het plastic, waardoor de tanden zich vastklampen. Zorg ervoor dat ze gelijk liggen met het oppervlak en er loodrecht in zijn gegaan. In totaal zijn er 8 plekken voor de schroefdraadinserts: 4 voor het deksel en 4 om de Arduino Uno te monteren.

Om de montage van de timing-eenheid te vergemakkelijken, hebben we magneten in de doos ingebouwd, waardoor het gemakkelijk kan worden losgemaakt als er ooit wijzigingen nodig zijn. De magneten moeten in dezelfde richting worden gericht voordat ze op hun plaats worden geduwd.s

Stap 10: De eindschakelaars bevestigen

De drie eindschakelaars zijn bevestigd aan één kant van de timingeenheid die naar de onderkant van de paden is gericht. Dus als de ballen op de schakelaars klikken, kan men bepalen welke bal het eerst is bereikt en de timing op een LCD-scherm weergeven. Soldeer kleine reepjes draad aan de terminals en zet ze vast in de sleuven met een beetje CA-lijm, want ze mogen niet losraken na continu kloppen.

Stap 11: LCD-scherm

Het deksel van de timing unit heeft een rechthoekige uitsparing voor het lcd-scherm en een gaatje voor de "start"-knop. We maakten het scherm vast met klodders hete lijm totdat het gelijk lag met het oppervlak van het deksel en bevestigden de rode knop met de bevestigingsmoer.

Stap 12: bedrading van de elektronica

De bedrading bestaat uit het aansluiten van de verschillende componenten in de juiste pinnen op de Arduino. Volg het bedradingsschema dat hierboven is bijgevoegd om de box in te stellen.

Stap 13: De code uploaden

De Arduino-code voor het brachistochrone-project is hieronder bijgevoegd. Er zijn twee openingen in het elektronicacompartiment voor gemakkelijke toegang tot de programmeerpoort van de Arduino en voor de stroomaansluiting.

De rode knop die bovenop de doos is bevestigd, wordt gebruikt om de timer te starten. Zodra de knikkers door de bochten rollen en de eindschakelaars activeren, die onderaan zijn geplaatst, worden de timings opeenvolgend geregistreerd. Nadat alle drie de ballen zijn geraakt, geeft het LCD-scherm de resultaten weer, uitgelijnd met de respectieve curven (foto's hierboven bijgevoegd). Zodra u de resultaten hebt genoteerd voor het geval een tweede meting nodig is, drukt u eenvoudig opnieuw op de hoofdknop om de timer te vernieuwen en hetzelfde proces te herhalen.

Stap 14: De 3D-afdrukgidsen

De geleiders die 3D-geprint waren, hadden een materiaalbasis van 3 mm voordat de ondersteunende muren begonnen. Als de acrylpanelen op hun plaats worden geschoven, ontstaat er dus een opening tussen het paneel en het houten frame, waardoor de stabiliteit van het pad afneemt.

Daarom moest de geleider 3 mm in het hout worden ingebed. Omdat we geen router hadden, hebben we hem naar een plaatselijke werkplaats gebracht en op een freesmachine gedaan. Na een beetje schuren pasten de prints goed en konden we ze vanaf de zijkant vastzetten met houtschroeven. Hierboven is een sjabloon bijgevoegd voor het plaatsen van de 6 geleiders op het houten frame.

Stap 15: De stop en de timingeenheid toevoegen

Omdat de timingmodule een apart systeem was, hebben we besloten om een snel montage- en demontagesysteem te maken met behulp van magneten. Op deze manier kan men eenvoudig programmeren of het apparaat er gewoon uit halen. In plaats van een sjabloon te maken om de positie van de magneten die in het hout moeten worden ingebed, over te brengen, laten we ze gewoon verbinden met die op de doos en doen dan een beetje lijm en plaatsen de doos op het stuk hout. De lijmsporen werden op het hout overgebracht, waardoor we snel de gaten op de juiste plekken konden boren. Bevestig tenslotte de 3D-geprinte stop en de timing-eenheid moet goed passen en toch met een lichte trekkracht kunnen worden losgemaakt

Stap 16: Het vrijgavemechanisme

Het ontgrendelingsmechanisme is eenvoudig. Gebruik een moer en bout om de C-sectie stevig aan de draaiarm te bevestigen, zodat ze één veilig stuk vormen. Boor vervolgens twee gaten in het midden van het verticale hout en bevestig de houder. Schuif een draaiende as en het mechanisme is compleet.

Stap 17: Het experiment

Nu het model klaar is, kan men de volgende experimenten doen:

Experiment 1

Schuif de acrylpanelen van het rechte pad, de brachistochrone curve en het steile pad voorzichtig naar binnen (in deze volgorde voor het beste effect). Trek vervolgens de vergrendeling omhoog en plaats de drie ballen bovenaan de curve en zorg ervoor dat ze perfect op elkaar zijn uitgelijnd. Houd ze stevig op hun plaats met de vergrendeling naar beneden. Laat een leerling de ballen loslaten en een andere leerling op de rode knop drukken om het tijdsysteem te starten. Kijk ten slotte hoe de ballen over het pad rollen en analyseer de resultaten die worden weergegeven op de timingmodule. Het opzetten van een camera om slow motion-beelden op te nemen is nog spannender omdat je de race frame voor frame kunt zien.

Experiment 2

Schuif net als bij het vorige experiment de acrylpanelen in, maar deze keer moeten alle paden de brachistonchrone-curve zijn. Vraag een leerling voorzichtig om de drie ballen deze keer op verschillende hoogtes vast te houden en druk op de rode knop als de ballen worden losgelaten. Bekijk het verbazingwekkende moment terwijl de ballen perfect op één lijn liggen voor de finishlijn en bevestig de observaties met de resultaten.

Stap 18: Conclusie

Het maken van het brachistochrone-model is een praktische manier om de magische manieren te zien waarop wetenschap functioneert. De experimenten zijn niet alleen leuk om naar te kijken en boeiend, maar het biedt ook een synthese van leeraspecten. Hoewel deze demonstratie in de eerste plaats bedoeld is voor middelbare scholieren, zowel praktisch als theoretisch, kan deze demonstratie gemakkelijk worden begrepen door jongere kinderen en kan deze worden weergegeven als een vereenvoudigde presentatie.

We willen mensen aanmoedigen om dingen te maken, of het nu een succes of een mislukking is, want STEM is uiteindelijk altijd leuk! Veel plezier met maken!

Laat een stem vallen in de klaswedstrijd als je de instructables leuk vond en laat je feedback achter in het commentaargedeelte.

Grote prijs in de klassikale wetenschapswedstrijd